题目描述

在一个 m*n 的棋盘的每一格都放有一个礼物，每个礼物都有一定的价值（价值大于 0）。你可以从棋盘的左上角开始拿格子里的礼物，并每次向右或者向下移动一格、直到到达棋盘的右下角。给定一个棋盘及其上面的礼物的价值，请计算你最多能拿到多少价值的礼物？

示例 1:

输入: 
[
  [1,3,1],
  [1,5,1],
  [4,2,1]
]
输出: 12
解释: 路径 1→3→5→2→1 可以拿到最多价值的礼物

提示：

• $0 < grid.length <= 200$
• $0 < grid[0].length <= 200$

---

算法

(动态规划) $O(n^2)$

状态表示：$f[i][j]$，表示走到第 $(i, j)$ 这个格子时能拿到礼物的最大价值

状态计算：
每次只能向右或向下走，所以只能从左边或上边到达 $(i, j)$

1. 左边，f[i][j] = f[i][j - 1]
2. 右边，f[i][j] = f[i - 1][j]

两者取 $max$

边界：f[n][m] 就是答案

时间复杂度

状态数量 $n^2$ 个，状态转移所需时间是 $O(1)$，所以总时间复杂度为 $O(n^2)$

空间复杂度

$O(n^2)$

C++ 代码

class Solution {
public:
    int maxValue(vector<vector<int>>& grid) {
        // n 是行 m 是列
        int n = grid.size(), m = grid[0].size();
        vector<vector<int>> f(n + 1, vector<int>(m + 1));

        for (int i = 1; i <= n; i ++ )
            for (int j = 1; j <= m; j ++ )
                f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - 1]) + grid[i - 1][j - 1];
        
        return f[n][m];
    }
};